Перестановки размещения сочетания событий. Сводка формул для всех видов соединений комбинаторика - перестановки и размещения с повторениями и без повторений с примерами
Рассмотрим задачу подсчета числа выборок из данного множества в общем виде. Пусть имеется некоторое множество N , состоящее из n элементов. Любое подмножество, состоящее из m элементов можно рассматривать без учета их порядка, так и с его учетом, т.е. при изменении порядка переходим к другой m – выборке.
Сформулируем следующие определения:
Размещения без повторения
Размещением без повторения из n элементов по m N , содержащее m различных элементов .
Из определения следует, что два размещения отличаются друг от друга, как элементами, так и их порядком, даже если элементы одинаковы.
Теорема 3 . Число размещений без повторения равно произведению m сомножителей, наибольшим из которых является число n . Записывают:
Перестановки без повторений
Перестановками из n элементов называются различные упорядочения множества N .
Из этого определения следует, что две перестановки отличаются только порядком элементов и их можно рассматривать как частный случай размещений.
Теорема 4 . Число различных перестановок без повторений вычисляется по формуле
Сочетания без повторений
Сочетанием без повторения из n элементов по m называется любое неупорядоченное подмножество множества N , содержащее m различных элементов.
Из определения следует, что два сочетания различаются только элементами, порядок не важен.
Теорема 5 . Число сочетаний без повторений вычисляют по одной из следующих формул:
Пример 1 . В комнате 5 стульев. Сколькими способами можно разместить на них
а) 7 человек; б) 5 человек; в) 3 человека?
Решение:
а) Прежде всего надо выбрать 5 человек
из 7 для посадки на стулья. Это можно
сделать
способом. С каждым выбором конкретной
пятерки можно произвести
перестановок местами. Согласно теореме
умножения искомое число способов посадки
равно.
Замечание: Задачу можно решать, используя только теорему произведения, рассуждая следующим образом: для посадки на 1-й стул имеется 7 вариантов, на 2-й стул-6 вариантов, на 3-й -5, на 4-й -4 и на 5-й -3. Тогда число способов посадки 7 человек на 5 стульев равно . Решения обоими способами согласуются, так как
б) Решение очевидно
-
в)
- число выборов занимаемых стульев.
- число размещений
трех человек на трех выбранных стульях.
Общее число выборов равно .
Не трудно проверить
формулы
;
;
Число всех подмножеств множества, состоящего из n элементов.
Размещения с повторением
Размещением с повторением из n элементов по m называется всякое упорядоченное подмножество множества N , состоящее из m элементов так, что любой элемент ожжет входить в это подмножество от 1 до m раз, либо вообще в нем отсутствовать .
Число
размещений с повторением обозначают
и вычисляют по формуле, представляющей
собой следствие из теоремы умножения:
Пример 2
.
Пусть дано множество из трех букв N
= {a,
b,
c}.
Назовем словом любой набор из букв,
входящих в это множество. Найдем
количество слов длиной 2, которые можно
составить из этих букв:
.
Замечание:
Очевидно, размещения с повторением
можно рассматривать и при
.
Пример 3 . Требуется из букв {a, b}, составить всевозможные слова длиной 3. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ
:
Перестановка – это комбинация элементов из N разных элементов взятых в определенном порядке. В перестановке важен порядок следования элементов, и в перестановке должны быть задействованы все N элементов.
Задача
: Найти все возможные перестановки для последовательности чисел 1, 2, 3.
Существуют следующие перестановки:
1:
1 2 3
2:
1 3 2
3:
2 1 3
4:
2 3 1
5:
3 1 2
6:
3 2 1
Перестановки без повторений
Количество перестановок для N различных элементов составляет N! . Действительно:
- на первое место может быть помещен любой из N элементов (всего вариантов N ),
- на вторую позицию может быть помещен любой из оставшихся (N-1) элементов (итого вариантов N·(N-1) ),
- если продолжить данную последовательность для всех N мест, то получим: N·(N-1)·(N-2)· … ·1 , то есть всего N! перестановок.
Рассмотрим задачу получения всех перестановок чисел 1…N (то есть последовательности длины N ), где каждое из чисел входит ровно по 1 разу. Существует множество вариантов порядка получения перестановок. Однако наиболее часто решается задача генерации перестановок в лексикографическом порядке (см. пример выше). При этом все перестановки сортируются сначала по первому числу, затем по второму и т.д. в порядке возрастания. Таким образом, первой будет перестановка 1 2 … N , а последней — N N-1 … 1 .
Рассмотрим алгоритм решения задачи. Дана исходная последовательность чисел. Для получения каждой следующей перестановки необходимо выполнить следующие шаги:
- Необходимо просмотреть текущую перестановку справа налево и при этом следить за тем, чтобы каждый следующий элемент перестановки (элемент с большим номером) был не более чем предыдущий (элемент с меньшим номером). Как только данное соотношение будет нарушено необходимо остановиться и отметить текущее число (позиция 1).
- Снова просмотреть пройденный путь справа налево пока не дойдем до первого числа, которое больше чем отмеченное на предыдущем шаге.
- Поменять местами два полученных элемента.
- Теперь в части массива, которая размещена справа от позиции 1 надо отсортировать все числа в порядке возрастания. Поскольку до этого они все были уже записаны в порядке убывания необходимо эту часть подпоследовательность просто перевернуть.
Таким образом мы получим новую последовательность, которая будет рассматриваться в качестве исходной на следующем шаге.
Реализация на С++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
#include
using
namespace
std;
{
int
s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int
*a, int
n)
{
int
j = n - 2;
while
(j != -1 && a[j] >= a) j--;
if
(j == -1)
return
false; // больше перестановок нет
int
k = n - 1;
while
(a[j] >= a[k]) k--;
swap(a, j, k);
int
l = j + 1, r = n - 1;
while
(l
return
true;
}
void
Print(int
*a, int
n) // вывод перестановки
{
static int
num = 1; // номер перестановки
cout.width(3);
cout <<
num++ <<
": "
;
for
(int
i = 0; i < n; i++)
cout <<
a[i] <<
" "
;
cout <<
endl;
}
int
main()
{
int
n, *a;
cout <<
"N = "
;
cin >>
n;
a = new
int
[n];
for
(int
i = 0; i < n; i++)
a[i] = i + 1;
Print(a, n);
while
(NextSet(a, n))
Print(a, n);
cin.get(); cin.get();
return
0;
}
Результат выполнения
Перестановки с повторениями
Особого внимания заслуживает задача генерации перестановок N элементов в случае если элементы последовательности могут повторяться. Допустим, исходная последовательность состоит из элементов n 1 , n 2 ... n k , где элемент n 1 повторяется r 1 раз, n 2 повторяется r 2 раз и т.д. При этом n 1 +n 2 +...+n k =N . Если мы будем считать все n 1 +n 2 +...+n k элементов перестановки с повторениями различными, то всего различных вариантов перестановок (n 1 +n 2 +...+n k)! . Однако среди этих перестановок не все различны. В самом деле, все r 1 элементов n 1 мы можем переставлять местами друг с другом, и от этого перестановка не изменится. Точно так же, можем переставлять элементы n 2 , n 3 и т. д. В итоге имеем r 1 ! вариантов записи одной и той же перестановки с различным расположением повторяющихся элементов n 1 . Таким образом, всякая перестановка может быть записана r 1 !·r 2 !·...·r k ! способами. Следовательно, число различных перестановок с повторениями равно
Для генерации перестановок с повторениями можно использовать алгоритм генерации перестановок без повторений, приведенный выше. Введем повторяющийся элемент в массив a. Ниже приведен код программы для генерации перестановок с повторениями (изменен только код функции main()
).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
#include
using
namespace
std;
void
swap(int
*a, int
i, int
j)
{
int
s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int
*a, int
n)
{
int
j = n - 2;
while
(j != -1 && a[j] >= a) j--;
if
(j == -1)
return
false; // больше перестановок нет
int
k = n - 1;
while
(a[j] >= a[k]) k--;
swap(a, j, k);
int
l = j + 1, r = n - 1; // сортируем оставшуюся часть последовательности
while
(l
return
true;
}
void
Print(int
*a, int
n) // вывод перестановки
{
static int
num = 1; // номер перестановки
cout.width(3); // ширина поля вывода номера перестановки
cout <<
num++ <<
": "
;
for
(int
i = 0; i < n; i++)
cout <<
a[i] <<
" "
;
cout <<
endl;
}
int
main()
{
int
n, *a;
cout <<
"N = "
;
cin >>
n;
a = new
int
[n];
for
(int
i = 0; i < n; i++)
a[i] = i + 1;
a = 1; // повторяющийся элемент
Print(a, n);
while
(NextSet(a, n))
Print(a, n);
cin.get(); cin.get();
return
0;
}
Результат работы приведенного выше алгоритма:
В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Рождение комбинаторики как раздела математикисвязано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.
Французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) рано проявил свои выдающиеся математические способности. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль доказал одну из основных теорем проективной геометрии (теорема Паскаля), сконструировал суммирующую машину (арифмометр Паскаля), дал способ вычисления биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля), впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции, сделал существенный шаг в развитии анализа бесконечно малых, сыграл важную роль в зарождении теории вероятности. В гидростатике Паскаль установил ее основной закон (закон Паскаля). “Письма к провинциалу” Паскаля явились шедевром французской классической прозы.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) - немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. В математике наряду с И. Ньютоном разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Важный вклад внес в комбинаторику. С его именем, в частности, связаны теоретико-числовые задачи.
Готфрид Вильгельм Лейбниц имел мало внушительную внешность и поэтому производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды в Париже он зашел в книжную лавку в надежде приобрести книгу своего знакомого философа. На вопрос посетителя об этой книге книготорговец, осмотрев его с головы до ног, насмешливо бросил: “Зачем она вам? Неужели вы способны читать такие книги?” Не успел ученый ответить, как в лавку вошел сам автор книги со словами: “Великому Лейбницу привет и уважение!” Продавец никак не мог взять втолк, что перед ним действительно знаменитый Лейбниц, книги которого пользовались большим спросом среди ученых.
В дальнейшем важную роль будет играть следующая
Лемма. Пусть в множестве элементов, а в множестве-элементов. Тогда число всех различных пар, гдебудет равно.
Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества мы можем составитьтаких различных пар, а всего в множествеэлементов.
Размещения, перестановки, сочетания
Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два?.
Определение. Размещениями множества из различных элементов поэлементовназываются комбинации, которые составлены из данныхэлементов поэлементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Число всех размещений множества из элементов поэлементов обозначается через(от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), гдеи.
Теорема. Число размещений множества из элементов поэлементов равно
Доказательство. Пусть у нас есть элементы . Пусть- возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим- первый элемент размещения. Из данной совокупностиэлементов его можно выбратьразличными способами. После выбора первого элементадля второго элементаостаетсяспособов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:
Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?
Решение. Искомое число трехполосных флагов:
Определение. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке.
Так, все различные перестановки множества из трех элементов - это
Число всех перестановок из элементов обозначается(от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле
Пример. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут;-)
Чем будем заниматься? В узком смысле комбинаторика - это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа - люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению - их три (дискретность) и существенно то, что среди них нет одинаковых.
С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:
Перестановки, сочетания и размещения без повторений
Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка - что значит «без повторений »? Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов. Например, … нет, кашу с паяльником и лягушкой предлагать не буду, лучше что-нибудь повкуснее =) Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:
яблоко / груша / банан
Вопрос первый : сколькими способами их можно переставить?
Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:
яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко
Итого : 6 комбинаций или 6 перестановок .
Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше? Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!
Никаких мучений - 3 объекта можно переставить способами.
Вопрос второй : сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?
Зачем выбирать? Так нагуляли же аппетит в предыдущем пункте - для того, чтобы съесть! а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами - взять либо яблоко, либо грушу, либо банан.
Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний
:
Запись в данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»
б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:
яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.
Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:
Запись понимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».
в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:
Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
способом можно выбрать ни одного фрукта - собственно, ничего не взять и всё.
г) Сколькими способами можно взять хотя бы один
фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
способами можно выбрать хотя бы один фрукт.
Для ответа на следующий вопрос мне требуется два добровольца… …Ну что же, раз никто не хочет, тогда буду вызывать к доске =)
Вопрос третий : сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?
Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно способами, перепишу их заново:
яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.
Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей - Наташу;
либо наоборот - груша достанется Даше, а яблоко - Наташе.
И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.
В данном случае работает формула количества размещений
:
Она отличается от формулы тем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.
Постарайтесь хорошо уяснить разницу между перестановками, сочетаниями и размещениями. В простейших случаях можно пересчитать все возможные комбинации вручную, но чаще всего это становится неподъемной задачей, именно поэтому и нужно понимать смысл формул.
Также напоминаю, что сейчас речь идёт о множестве с различными объектами, и если яблоко/грушу/банан заменить на 3 яблока или даже на 3 очень похожих яблока, то в контексте рассмотренной задачи они всё равно будут считаться различными .
Остановимся на каждом виде комбинаций подробнее:
Перестановки
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой
Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов. Например, дружная семья:
Задача 1
Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
Решение : используем формулу количества перестановок:
Ответ : 120 способами
Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели на скамейку вдоль одной стены - важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:
Задача 2
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?
Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны! ) , и это очень важная предпосылка для применения формулы Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? ;-)
Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач - в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами. Нет, конечно, я не призываю тупо прорабатывать другие разделы математики, однако должен заметить, что те же интегралы можно научиться решать чисто механически.
Решение и ответ в конце урока.
Увеличиваем обороты:
Сочетания
В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:
Сочетаниями
называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание - это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок
(расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле 
.
Задача 3
В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Решение : прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными - даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать) .
В задаче речь идёт о выборке из 4-х деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» - грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:
Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа .
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде . Распишу очень подробно:
Способами можно взять 4 детали из ящика.
Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15-ти различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4-х деталей. То есть, каждая такая комбинация из 4-х деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.
Ответ : 1365 способами
Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:
Единственным способом можно взять ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из 15-ти);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15-ти останется в ящике);
- единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.
Рекомендую внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля , по которому, к слову, очень удобно выполнять проверку вычислений при небольших значениях «эн».
Задача 4
Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
Это пример для самостоятельного решения. Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью - главное, разобраться в сути. И суть, бывает, открывается с различных сторон. Разберём весьма поучительный пример:
Задача 4
В шахматном турнире участвует человек и каждый с каждым играет по 1-й партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?
Поскольку я сам играю в шахматы и неоднократно принимал участие в круговых турнирах, то сразу же сориентировался по турнирной таблице размером клеток, в которой результат каждой партии учитывается дважды и, кроме того, затушёвываются клетки «главной диагонали» (т.к. участники не играют сами с собой) . Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле . Такое решение полностью корректно (см. соответствующий файл банка готовых решений ) и на долгое время я забыл о нём по принципу «решено, да и ладно».
Однако один из посетителей сайта заметил, что на самом деле здесь можно руководствоваться самыми что ни на есть банальными сочетаниями:
различных пар можно составить из соперников (кто играет белыми, кто чёрными - не важно)
.
Эквивалентной является задача о рукопожатиях: в отделе работает мужчин и каждый с каждым здоровается за руку, сколько рукопожатий они совершают? К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией.
Ну а вывода тут два:
Во-первых, не всё очевидное - очевидно;
И во-вторых, не бойтесь решать задачи «нестандартно»!
Большое спасибо за ваши письма, они помогают улучшить качество учебных материалов!
Размещения
Или «продвинутые» сочетания. Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком . Количество размещений рассчитывается по формуле
Что наша жизнь? Игра:
Задача 5
Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
Решение : ситуация похожа на Задачу 4, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:
Способами можно раздать 3 карты игрокам.
Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:
способами можно извлечь 3 карты из колоды.
Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей, 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей способами:
КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.
И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из 3-х карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали . Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:
Способами можно сдать по одной карте 3-м игрокам.
По существу, получилась наглядная проверка формулы , окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе.
Ответ : 42840
Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? …Наверное, преподаватель =)
И чтобы никому не было обидно, в следующей задаче примет участие вся студенческая группа:
Задача 6
В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?
Задача о «размещении» должностей в коллективе встречается очень часто и является самым настоящим баяном. Краткое решение и ответ в конце урока.
План:
1. Элементы комбинаторики.
2. Общие правила комбинаторики.
4. Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.
1. Комбинаторика и ее возникновение.Комбинаторика - это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.
Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры (карты, кости). Широко были распространены лотереи. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр: сколькими способами можно получить данное число очков, бросая 2 или 3 кости или сколькими способами можно получить 2-ух королей в некоторой карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и далее в развитии теории вероятностей.
Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако, он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.
Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.
Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.
Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний, для составления планов производства и реализации продукции и т.д.
2. Общие правила комбинаторики.Правило суммы: Если некоторый объект А может быть выбран m способами, а объект В- k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать m +k способами.
Примеры:
1. Допустим, что в ящике находится n разноцветных шаров. Произвольным образом вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: n способами.
Распределим эти n шариков по двум ящикам: в первый- m шариков, во второй- k шариков. Произвольным образом из произвольно выбранного ящика вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Из первого ящика шарик можно вынуть m способами, из второго- k способами. Тогда всего способов m+k=n .
2. Морской семафор.В морском семафоре каждой букве алфавита соответствует определенное положение относительно тела сигнальщика двух флажков. Сколько таких сигналов может быть?
Решение: Общее число складывается из положений, когда оба флажка расположены по разные стороны от тела сигнальщика и положений, когда они расположены по одну сторону от тела сигнальщика. При подсчете числа возможных положений применяется правило суммы.
Правило произведения: Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) k способами, то пары объектов «А и В» можно выбрать m *k способами.
Примеры:
1. Сколько двузначных чисел существует?Решение: Число десятков может быть обозначено любой цифрой от 1 до 9. Число единиц может быть обозначено любой цифрой от 0 до 9. Если число десятков равно 1, то число единиц может быть любым (от 0 до 9). Таким образом, существует 10 двузначных чисел, с числом десятков- 1.Аналогично рассуждаем и для любого другого числа десятков. Тогда можно посчитать, что существует 9 *10 = 90 двузначных чисел.
2. Имеется 2 ящика. В одном лежит m разноцветных кубиков, а в другом- k разноцветных шариков. Сколькими способами можно выбрать пару «Кубик-шарик»?
Решение: Выбор шарика не зависит от выбора кубика, и наоборот. Поэтому, число способов, которыми можно выбрать данную пару равно m *k .
3. Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.Генеральная совокупность без повторений - это набор некоторого конечного числа различных элементов a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n .
Пример: Набор из n разноцветных лоскутков.
Выборкой объема k (k n ) называется группа из m элементов данной генеральной совокупности.
Пример: Пестрая лента, сшитая из m разноцветных лоскутков, выбранных из данных n .
Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
- число размещений из n по k .
Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n -1 способом и т.д.
Преобразовав данную формулу, имеем:
Следует помнить, что 0!=1.
Примеры:
1. В первой группе класса А первенства по футболу участвует 17 команд. Разыгрываются медали: золото, серебро и бронза. Сколькими способами они могут быть разыграны?
Решение:
Комбинации
команд-победителей отличаются друг от друга составом и порядком следования
элементов, т.е. являются размещениями из 17 по 3.
2. Научное общество состоит из 25-ти человек. Необходимо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Комбинации руководящего состава общества отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 25 по 4.
Перестановками без повторений из n элементов называются размещения без повторений из n элементов по n , т.е. размещения отличаются друг от друга только порядком следования элементов.
Число перестановок.
Примеры:
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что они должны состоять из различных цифр?
Решение: Имеем перестановки из 5 элементов. 2. Сколькими способами можно собрать 6 разноцветных лоскутков в пеструю ленту?Решение: Имеем перестановки из 6 элементов.
Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.
- число сочетаний из n по k
Элементы каждого из сочетаний можно расставить способами. Тогда Примеры:1. Если в полуфинале первенства по шахматам участвует 20 человек, а в финал выходят лишь трое, то сколькими способам и можно определить эту тройку?
Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки, вышедшие в финал, являются сочетаниями из 20 по 3.
2. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов из десяти человек на конференцию?Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки делегатов являются сочетаниями из 10 по 3.
Конспект:
4.Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.
В случае, когда число возможных выборов на каждом шагу зависит от того, какие элементы были выбраны ранее, можно изобразить процесс составления комбинаций в виде «дерева». Сначала из одной точки проводят столько отрезков, сколько различных выборов можно сделать на первом шагу. Из конца каждого отрезка проводят столько отрезков, сколько можно сделать выборов на втором шагу, если на первом шагу был выбран данный элемент и т.д.
Задача:
При составлении команд космического корабля учитывается вопрос и психологической совместимости участников путешествия. Необходимо составить команду космического корабля из 3 человек: командира, инженера и врача. На место командира есть 4 кандидата: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 .На место инженера- 3: b 1 , b 2 , b 3 . На место врача- 3: c 1 , c 2 , c 3 . Проведенная проверка показала, что командир a 1 психологически совместим с инженерами b 1 и b 3 и врачами c 1 и c 3 . Командир a 2 - с инженерами b 1 и b 2 . и всеми врачами. Командир a 3 - с инженерами b 1 и b 2 и врачами c 1 и c 3 . Командир a 4 -со всеми инженерами и врачом c 2 . Кроме того, инженер b 1 не совместим с врачом c 3 , b 2 - с врачом c 1 и b 3 - с врачом c 2 . Сколькими способами при этих условиях может быть составлена команда корабля?
Решение:
Составим соответствующее «дерево».
Ответ: 10 комбинаций.
Такое дерево является графом и применяется для решения комбинаторных задач.