Вписанные и описанные около четырехугольника окружности. Вписанный и описанный четырехугольники и их свойства - материалы для подготовки к егэ по математике

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Центр описанной окружности

Теорема. Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечениясерединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Центр Вписанная окружность

Определение . Вписанная в выпуклый многоугольник окружность - это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружностикасательной).

Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности - точка пересечения его биссектрис.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

Где S - площадь многоугольника, p - его полупериметр.

Правильный n-угольник - формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности: a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

S =	R 2 3√3

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника: α = 120°

Значение числа (произносится «пи» ) - математическая константа, равная отношению

длины окружности к длине её диаметра, оно выражается бесконечной десятичной дробью.

Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14).

53. Найдем длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу в n°

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

Градусная мера угла в 1 радиан равна:

Так как дуга длиной π R (полуокружность), стягивает центральный угол в 180° , то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

И наоборот

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

И наоборот

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.

Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.

Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.

*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:

Свойства:

Вписанный четырехугольник - это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.

То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

Рассмотрим задачи:

27870. В окружности с центром O AC и BD - диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Треугольник B ОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:

Следовательно

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть

Другой способ:

Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла

Сумма смежных углов равна 180 0 , значит

Таким образом

Ответ: 35

27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен

Второй способ:

Построим ОВ и OD.

По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна

2∙58 0 = 116 0

Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна

360 0 – 116 0 = 244 0

По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .

Ответ: 122

27872. Стороны четырехугольника ABCD AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Построим радиусы АО, OD, OC:

Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .

По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть

Ответ: 108

27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём

На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».

Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть

Ответ: 70

27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.

Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно

В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:

Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.

Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких

Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность является описанной около четырехугольника.

Как не каждый четырехугольник можно описать около окружности, также не каждый можно вписать в окружность.

Выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность, обладает свойством: его противоположные углы в сумме составляют 180° . Так, если дан четырехугольник ABCD, у которого угол A противоположен углу C, а угол B противоположен углу D, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Вообще, если одна пара противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то и другая пара в сумме будет составлять столько же. Это следует из того, что у выпуклого четырехугольника сумма углов всегда равна 360°. В свою очередь данный факт следует из того, что у выпуклых многоугольников сумма углов определяется по формуле 180° * (n – 2), где n - количество углов (или сторон).

Доказать свойство вписанного четырехугольника можно следующим образом. Пусть в окружность O вписан четырехугольник ABCD. Требуется доказать, что ∠B + ∠D = 180°.

Угол B является вписанным в окружность. Как известно, такой угол равен половине дуги, на которую опирается. В данном случае угол B опирается на дугу ADC, значит, ∠B = ½◡ADC. (Поскольку дуга равна углу между образующими ее радиусами, то можно записать, что ∠B = ½∠AOC, внутренняя область которого содержит точку D.)

С другой стороны угол D четырехугольника опирается на дугу ABC, то есть ∠D = ½◡ABC.

Так как стороны углов B и D пересекают окружность в одних и тех же точках (A и C), то они разделяют окружность только на две дуги - ◡ADC и ◡ABC. Так как полная окружность в сумме составляет 360°, то ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Таким образом получились следующие равенства:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Выразим сумму углов:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Вынесем ½ за скобку:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Заменим сумму дуг их числовым значением:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Мы получили, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Это и требовалось доказать.

То, что вписанный четырехугольник обладает таким свойством (сумма противоположных углов равна 180°), еще не означает, что любой четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна 180° можно вписать в окружность. Хотя на самом деле это так. Данный факт называется признаком вписанного четырехугольника и формулируется так: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность (или вписать его в окружность) .

Доказать признак вписанного четырехугольника можно методом от противного. Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого противоположные углы B и D в сумме составляют 180°. При этом угол D не лежит на окружности. Тогда возьмем на прямой, содержащей отрезок CD, такую точку E, чтобы она лежала на окружности. Получится вписанный четырехугольник ABCE. У этого четырехугольника противоположны углы B и E, а, значит, они составляют в сумме 180°. Это следует из свойства вписанного четырехугольника.

Получается, что ∠B + ∠D = 180° и ∠B + ∠E = 180°. Однако угол D четырехугольника ABCD по отношению к треугольнику AED является внешним, а значит больше угла E этого треугольника. Таким образом, мы пришли к противоречию. Значит, если сумма противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то он всегда может быть вписан в окружность.

Окружность называется вписанной в четырехугольник, если все стороны четырехугольника являются касательными к окружности.

Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис углов четырехугольника. В этом случае радиусы, проведенные в точки касания являются перпендикулярами к сторонам четырехугольника

Окружность называется описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины.

Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность и не около всякого четырехугольника можно описать окружность

СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕМА В выпуклом вписанном четырехугольнике суммы противолежащих углов равны между собой и равны 180°.

ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих углов равны, то около четырехугольника можно описать окружность. Ее центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

ТЕОРЕМА Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон его равны.

ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Ее центр - точка пересечения биссектрис.

Следствия: из всех параллелограммов только около прямоугольника (в частности около квадрата) можно описать окружность.

Из всех параллелограммов только в ромб (в частности в квадрат) можно вписать окружность (центр - точка пересечения диагоналей, радиус - равен половине высоты).

Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если в трапецию вписана окружность, то радиус ее равен половине высоты.

Задания с решениями

1. Найти диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

Центром окружности, описанной около прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ АС равна 2R . То есть АС =10
Ответ: 10.

2. Около трапеции, основания которой 6 см и 8 см, а высота 7см, описан круг Найти площадь этого круга.

Пусть DC =6, AB =8. Так как около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.

Проведем две высоты DM и CN .Так как трапеция равнобедренная, то AM=NB =

Тогда AN =6+1=7

Из треугольника ANС по теореме Пифагора найдем АС .

Из треугольника CВN по теореме Пифагора найдем ВС .

Окружность, описанная около трапеции, является и окружностью, описанной около треугольника АСВ.

Найдем площадь этого треугольника двумя способами по формулам

Гдe h - высота и - основание треугольника

Где R- радиус описанной окружности.

Из этих выражений получаем уравнение . Откуда

Площадь круга будет равна

3. Углы , и четырехугольника относятся как . Найдите угол , если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах

Из условия следует, что .Так как около четырехугольника можно описать окружность, то

Получаем уравнение . Тогда . Сумма всех углов четырехугольника равна 360º. Тогда

. откуда получаем, что

4.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Тогда средняя линия равна

5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

В трапеции радиус вписанной окружности равен половине высоты. Проведем высоту СК.

Тогда .

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Тогда

Тогда периметр

Получаем уравнение

6. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Пусть О центр описанной около трапеции окружности. Тогда .

Проведем высоту КН через точку О

Тогда , где КО и ОН высоты и одновременно медианы равнобедренных треугольников DOC и АОВ. Тогда

По теореме Пифагора.