Числовая окружность на координатной плоскости тригонометрический круг. Окружность на координатной плоскости

Дата: Урок 1
тема: Числовая окружность на координатной прямой

Цели: ввести понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе координат; формировать умение находить декартовы координаты точек числовой окружности и выполнять обратное действие: зная декартовы координаты точки, определять её числовое значение на числовой окружности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Объяснение нового материала.

1. Разместив числовую окружность в декартовой системе координат, подробно разбираем свойства точек числовой окружности, находящихся в различных координатных четвертях.

Для точки М числовой окружности используют запись М (t ), если речь идет о криволинейной координате точки М , или запись М (х ; у ), если речь идет о декартовых координатах точки.

2. Отыскание декартовых координат «хороших» точек числовой окружности. Речь идет о переходе от записи М (t ) к М (х ; у ).

3. Отыскание знаков координат «плохих» точек числовой окружности. Если, например, М (2) = М (х ; у ), то х  0; у  0. (школьники учатся определять знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности.)

1. № 5.1 (а; б), № 5.2 (а; б), № 5.3 (а; б).

Данная группа заданий направлена на формирование умения отыскивать декартовы координаты «хороших» точек на числовой окружности.

Решение:

№ 5.1 (а).

2. № 5.4 (а; б), № 5.5 (а; б).

Эта группа заданий направлена на формирование умений находить криволинейные координаты точки по её декартовым координатам.

Решение:

№ 5.5 (б).

3. № 5.10 (а; б).

Данное упражнение направлено на формирование умения находить декартовы координаты «плохих» точек.

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Что собой представляет модель – числовая окружность на координатной плоскости?

– Как, зная криволинейные координаты точки на числовой окружности, найти её декартовы координаты и наоборот?

Домашнее задание: № 5.1 (в; г) – 5.5 (в; г), № 5.10 (в; г).

Дата: Урок 2
ТЕМА: Решение задач на модели «числовая окружность на координатной плоскости»

Цели: продолжить формирование умения переходить от криволинейных координат точки на числовой окружности к декартовым координатам; формировать умение отыскивать на числовой окружности точки, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению или неравенству.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите криволинейные и декартовы координаты точек на числовой окружности.

2. Сопоставьте дугу на окружности и её аналитическую запись.

III. Объяснение нового материала.

2. Отыскание на числовой окружности точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Рассматриваем примеры 2 и 3 со с. 41–42 учебника.

Важность этой «игры» очевидна: учащиеся готовятся к решению простейших тригонометрических уравнений вида Для понимания сути дела следует прежде всего научить школьников решать эти уравнения с помощью числовой окружности, не переходя к готовым формулам.

При рассмотрении примера на нахождение точки с абсциссой обращаем внимание учащихся на возможность объединения ддвух серий ответов в одну формулу:

3. Отыскание на числовой окружности точек, координаты которых удовлетворяют заданному неравенству.

Рассматриваем примеры 4–7 со с. 43–44 учебника. Решая подобные задачи, мы готовим учащихся к решению тригонометрических неравенств вида

После рассмотрения примеров учащиеся могут самостоятельно сформулировать алгоритм решения неравенств указанного типа:

1) от аналитической модели переходим к геометрической модели – дуга МР числовой окружности;

2) составляем ядро аналитической записи МР ; для дуги получаем

3) составляем общую запись:

IV. Формирование умений и навыков.

1-я группа. Нахождение точки на числовой окружности с координатой, удовлетворяющей заданному уравнению.

№ 5.6 (а; б) – № 5.9 (а; б).

В процессе работы над этими упражнениями отрабатываем пошаговость выполнения: запись ядра точки, аналитической записи.

2-я группа. Нахождение точек на числовой окружности с координатой, удовлетворяющей заданному неравенству.

№ 5.11 (а; б) – 5.14 (а;б).

Главное умение, которое должны приобрести школьники при выполнении данных упражнений, – это составление ядра аналитической записи дуги.

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу, и найдите её декартовы координаты:

2. Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой и запишите, каким числам t они соответствуют.

3. Обозначьте на числовой окружности точки с ординатой, удовлетворяющей неравенству и запишите при помощи двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.

Вариант 2

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу, и найдите её декартовы координаты:

2. Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой у = 0,5 и запишите, каким числам t они соответствуют.

3. Обозначьте на числовой окружности точки с абсциссой, удовлетворяющей неравенству и запишите при помощи двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Как найти на окружности точку, абсцисса которой удовлетворяет заданному уравнению?

– Как найти на окружности точку, ордината которой удовлетворяет заданному уравнению?

– Назовите алгоритм решения неравенств с помощью числовой окружности.

Домашнее задание: № 5.6 (в; г) – № 5.9 (в; г),

№ 5.11 (в; г) – № 5.14 (в; г).

Числовой окружности в 10 классе уделяется достаточно много времени. Это связано со значимостью этого математического объекта для всего курса математики.

Огромное значение для хорошего усвоения материала имеет правильная подборка средств обучения. К наиболее эффективным таким средствам относятся видеоуроки. В последнее время они достигают пика популярности. Поэтому автор не стал отставать от современности и разработал в помощь учителям математики столь замечательное пособие - видеоурок по теме «Числовая окружность на координатной плоскости».

Данный урок по длительности занимает 15:22 минут. Это практически максимальное время, которое может затратить учитель на самостоятельное объяснение материала по теме. Так как на объяснение нового материала уходит столько много времени, то на закрепление необходимо подобрать самые эффективные задания и упражнения, а также выделить еще один урок, где обучающиеся будут решать задания по данной теме.

Урок начинается с изображения числовой окружности в системе координат. Автор строит эту окружность и поясняет свои действия. Затем автор называет точки пересечения числовой окружности с осями координат. Далее поясняется, какие координаты будут иметь точки окружности в разных четвертях.

После этого автор напоминает, как выглядит уравнение окружности. И вниманию слушателей представляется два макета с изображением некоторых точек на окружности. Благодаря этому, на следующем шаге автор показывает, как находятся координаты точек окружности, соответствующие определенным числам, отмеченным на шаблонах. Так получается таблица значений переменных xи y в уравнении окружности.

Далее предлагается рассмотреть пример, где необходимо определить координаты точек окружности. Перед тем, как начинать решать пример, вводится некоторое замечание, которое помогает при решении. А затем на экране появляется полное, четко структурированное и наполненное иллюстрациями решение. Здесь также присутствуют таблицы, которые облегчают понимание сущность примера.

Затем рассматриваются еще шесть примеров, которые менее трудоемкие, чем первый, но не менее важные и отражающие главную идею урока. Здесь решения представлены в полном объеме, с подробным рассказом и с элементами наглядности. А именно, в решении присутствуют рисунки, иллюстрирующие ход решения, и математическая запись, формирующая математическую грамотность обучающихся.

Учитель может ограничиться и теми примерами,которые рассмотрены в уроке, но этого может быть недостаточно для качественного усвоения материала. Поэтому подобрать задания для закрепления просто крайне важно.

Урок может быть полезен не только учителям, время которых постоянно ограничено, но и обучающимся. Особенно тем, кто получает семейное образование или занимается самообразованием. Материалами могут пользоваться те обучающиеся, которые пропустили урок по данной теме.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Тема нашего урока «ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ»

Мы уже знакомы с декартовой прямоугольной системой координат xOy (икс о игрек). В этой системе координат расположим числовую окружность так, чтобы центр окружности был совмещен с началом координат, а ее радиус примем за масштабный отрезок.

Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой с координатами (1;0) , В - с точкой (0;1), С - с (-1;0)(минус один, нуль), а D - с (0; -1)(нуль, минус один).

(смотри рис 1)

Так как каждая точка числовой окружности имеет в системе xOy (икс о игрек) свои координаты, то для точек первой четверти икх больше нуля и игрек больше нуля;

Во-второй четверти икх меньше нуля и игрек больше нуля,

для точек третьей четверти икх меньше нуля и игрек меньше нуля,

а для четвертой четверти икх больше нуля и игрек меньше нуля

Для любой точки E (x;y)(с координатами икс, игрек) числовой окружности выполняются неравенства -1≤ х≤ 1, -1≤у≤1 (икс больше либо равно минус один, но меньше либо равно один; игрек больше либо равно минус один, но меньше либо равно один).

Вспомним, что уравнение окружности радиусом R c центром в начале координат имеет вид х 2 + у 2 =R 2 (икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат). А для единичной окружности R =1, поэтому получаем х 2 + у 2 = 1

(икс квадрат плюс игрек квадрат равно один).

Найдем координаты точек числовой окружности, которые представлены на двух макетах (см. рис 2, 3)

Пусть точка E, которая соответствует

(пи на четыре) - середина первой четверти изображенная на рисунке. Из точки E опустим перпендикуляр EK на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОEK. Угол АОЕ =45 0 , так как дуга АЕ составляет половину дуги АВ. Следовательно, треугольник ОЕК - равнобедренный прямоугольный, у которого ОК = ЕК. Значит, абсцисса и ордината точки Е равны, т.е. икс равно игрек. Чтобы найти координаты точки Е, решим систему уравнений: (икс равно игрек- первое уравнение системы и икс квадрат плюс игрек квадрат равно один - второе уравнение системы).Во второе уравнение системы вместо х подставим у, получим 2у 2 =1(два игрек квадрат равно единице), откуда у= = (игрек равно один деленное на корень из двух равно корень из двух деленное на два) (ордината положительна).Это значит, что точка Е в прямоугольной системе координат имеет координаты(,)(корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два).

Рассуждая аналогично, найдем координаты для точек, соответствующих другим числам первого макета и получим: соответствует точка с координатами (- ,) (минус корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два); для - (- ,-) (минус корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два); для (семь пи на четыре) (,)(корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два).

Пусть точка D соответствует (рис.5). Опустим перпендикуляр из DР(дэ пэ) на ОА и рассмотрим треугольник ОDР. Гипотенуза этого треугольника OD равна радиусу единичной окружности, то есть единице, а угол DОР равен тридцати градусам, так как дуга АD = диги АВ(а дэ равно одной трети а бэ), а дуга АВ равна девяносто градусов. Следовательно, DР = (дэ пэ равно одной второй О дэ равно одной второй) Так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов равен половине гипотенузы, то есть у = (игрек равно одной второй). Применяя теорему Пифагора, получим ОР 2 = ОD 2 - DР 2 (о пэ квадрат равно о дэ квадрат минус дэ пэ квадрат), но ОР = х (о пэ равно икс) . Значит, х 2 = ОD 2 - DР 2 =

значит, х 2 = (икс квадрат равно трем четвертым) и х = (икс равно корень из трех на два).

Икс положительное, т.к. находится в первой четверти. Получили, что точка D в прямоугольной системе координат имеет координаты (,) корень из трех деленное на два, одна вторая.

Рассуждая аналогичным образом, найдем координаты для точек, соответствующих другим числам второго макета и все полученные данные запишем в таблицы:

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР1. Найдите координаты точек числовой окружности: а) С 1 ();

б) С 2 (); в) С 3 (41π); г) С 4 (- 26π). (цэ один соответствующая тридцать пять пи на четыре, цэ два соответствующая минус сорока девяти пи на три, цэ три соответствующая сорок одному пи, цэ четыре соответствующая минус двадцати шести пи).

Решение. Воспользуемся утверждение, полученным ранее: если точка D числовой окружности соответствуют числу t, то она соответствует и любому числу вида t + 2πk(тэ плюс два пи ка), где ка -любое целое число, т.е. kϵZ (ка принадлежит зэт).

а) Получим = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4.(тридцать пять пи на четыре равно тридцать пять на четыре, умноженное на пи равно сумме восьми и трех четвертых, умноженной на пи равно три пи на четыре плюс произведение двух пи на четыре).Это значит, что числу тридцать пять пи на четыре соответствует та же точка числовой окружности, что и числу три пи на четыре. Используя таблицу 1, получим С 1 () = С 1 (- ;) .

б) Аналогично координаты С 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Значит, числу

соответствует та же точка числовой окружности, что и числу. А числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу

(показать второй макет и таблицу 2). Для точки имеем х = , у =.

в) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20.Значит, числу 41π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу π - это точка с координатами (-1 ; 0).

г) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), то есть числу - 26π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу ноль, - это точка с координатами (1;0).

ПРИМЕР 2. Найти на числовой окружности точки с ординатой у =

Решение. Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу, вторая точка соответствует числу,

Следовательно все точки получаем прибавляя полный оборот 2πk где k показывает сколько полных оборотов делает точка, т.е. получаем,

а любому числу все числа вида + 2πk. Часто в таких случаях говорят, что получили две серии значений: + 2πk, + 2πk.

ПРИМЕР 3. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х = и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение. Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу (смотри второй макет),

а значит и любому числу вида + 2πk. А вторая точка соответствует числу, а значит, и любому числу вида + 2πk. Эти две серии значений можно охватить одной записью: ± + 2πk(плюс минус два пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР 4. Найти на числовой окружности точки с ординатой у > и записать, каким числам t они соответствуют.

Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках M и P. А неравенству у > соответствуют точки открытой дуги МР, это значит дуги без концов (то есть без и) , при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки М, а заканчивая в точке Р. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР5. Найти на числовой окружности точки с ординатой у < и записать, каким числам t они соответствуют.

Прямая у = пересекает числовую окружность в двух точках М и Р. А неравенству у < соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk < t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР 6. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х > и записать, каким числам t они соответствуют.

Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках М и Р. Неравенству х > соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке Р, которая соответствует,и концом в точке М, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t <

(тэ больше, чем минус два пи на три, но меньше двух пи на три), а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР 7. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х < и записать, каким числам t они соответствуют.

Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках М и Р. Неравенству х< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(тэ больше, чем два пи на три, но меньше четырех пи на три), а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).

Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности

• четвертям - 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
• серединам четвертей - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• третям четвертей - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.

Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).

Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).

Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).

Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого - это и есть координаты x и y точки окружности.

Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Из теоремы Пифагора получаем уравнение x 2 + y 2 = 1 2 . Поскольку x = y, а 1 2 = 1, то уравнение упрощается до x 2 + x 2 = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Таким образом, координаты точки M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.

Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Таким образом T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Числовая окружность». Дается определение, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс и функции y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x для любого числового аргумента. Рассматривается стандартные задачи на соответствие между числами и точками в единичной числовой окружности для нахождения каждому числу единственной точки, и, наоборот, на нахождение для каждой точки множество чисел которые ей соответствуют.

Тема: Элементы теории тригонометрических функций

Урок: Числовая окружность

Наша ближайшая цель - определить тригонометрические функции: синус , косинус , тангенс , котангенс-

Числовой аргумент можно откладывать на координатной прямой или на окружности.

Такая окружность называется числовой или единичной, т.к. для удобства берут окружность с

Например, дана точка Отметим ее на координатной прямой

и на числовой окружности .

При работе с числовой окружностью условились, что движение против часовой стрелки - положительное направление, по часовой стрелке - отрицательное.

Типовые задачи - нужно определить координаты заданной точки либо, наоборот, найти точку по ее координатам.

Координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками и числами. Например, числу соответствует точка А с координатой

Каждая точка В с координатой характеризуется только одним числом - расстоянием от 0 до взятым со знаком плюс или минус.

На числовой окружности взаимно-однозначное соответствие работает только в одну сторону.

Например, есть точка В на координатной окружности (рис.2), длина дуги равна 1, т.е. эта точка соответствует 1.

Дана окружность, длина окружности Если то - длина единичной окружности.

Если мы прибавим , получим ту же точку В, еще - тоже попадем в т. В, отнимем - тоже т. В.

Рассмотрим точку B: длина дуги =1, тогда числа характеризуют т. В на числовой окружности.

Таким образом, числу 1 соответствует единственная точка числовой окружности - точка В, а точке В соответствует бесчисленное множество точек вида .

Для числовой окружности верно следующее:

Если т. М числовой окружности соответствует числу то она соответствует и числу вида

Можно делать сколько угодно полных оборотов вокруг числовой окружности в положительном или отрицательном направлении - точка одна и та же. Поэтому тригонометрические уравнения имеют бесчисленное множество решений.

Например, дана точка D. Каковы числа, которым она соответствует?

Измеряем дугу .

множество всех чисел, соответствующих точке D.

Рассмотрим основные точки на числовой окружности.

Длина всей окружности.

Т.е. запись множества координат может быть различной.

Рассмотрим типовые задачи на числовую окружность.

1. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Выделяем целую часть:

Необходимо найти т. на числовой окружности. , тогда.

В это множество входит и точка .

2. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Необходимо найти т.

т.также принадлежит этому множеству.

Решая стандартные задачи на соответствие между числами и точками на числовой окружности, мы выяснили, что можно для каждого числа найти единственную точку, и можно для каждой точки найти множество чисел, которые характеризуются данной точкой.

Разделим дугу на три равные части и отметим точки M и N.

Найдем все координаты этих точек.

Итак, наша цель - определение тригонометрических функций. Для этого нам необходимо научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки единичной окружности и решили две типовые задачи - найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки единичной окружности.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.