Формулы приведения квадратных уравнений. Проверка домашнего задания. Пример. Решить уравнение

Конспект урока

учителя математики

МБОУ СОШ №2 г. Ворсма

Киселевой Ларисы Алексеевны

Тема: «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»

Цель урока: Введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.

Задачи:

Образовательные:

    Ввести понятие приведенного квадратного уравнения,

    Вывести формулу корней приведенного квадратного уравнения,

    Сформулировать и доказать теорему Виета,

    Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета,

    Научить учащихся решать приведенные квадратные уравнения, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета.

Развивающие:

    развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать;

Воспитательные:

    воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: учебник алгебры под ред. Алимова и др., тетрадь, раздаточный материал, презентация к уроку.

План урока.

Этап урока

Содержание (цель)этапа

Время (мин)

Организационный момент

Проверка домашнего задания

Проверочная работа

Разбор работы, ответы на вопросы.

Изучение нового материала

Формирование опорных знаний, формулировка правил, решение задач, анализ результатов, ответы на вопросы учащихся.

Усвоение изученного материала путем его применения при решении задач по аналогии под контролем учителя.

Подведение итогов урока

Оценка знаний отвечавших учеников. Проверка знаний и понимания формулировок правил методом фронтального опроса.

Домашнее задание

Ознакомление учащихся с содержанием задания и получение необходимых пояснений.

Дополнительные задания

Разноуровневые задания для обеспечения развития учащихся.

Ход урока.

    Организационный момент. Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.

    Проверка домашнего задания. Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.

Уравнение

Количество корней

Учитель: Как, не решая квадратного уравнения, определить количество его корней? (ответы учащихся)

    Проверочная работа. Ответы на вопросы.

Текст проверочной работы:

Вариант №1.

    Решите уравнения:

А) ,

Б)

имеет:

    Один корень,

    Два различных корня.

Вариант №2.

    Решите уравнения:

А) ,

Б)

2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение имеет:

    Один корень,

    Два различных корня.

Проверочная работа выполняется на отдельных листах, сдается учителю на проверку.

После сдачи работы решение высвечивается на экран.

    Изучение нового материала.

4.1. Франсуа Виет – французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III и Генриха II .

Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом.

Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»

Как связаны между собой корни квадратного трёхчлена и его коэффициенты p и q ? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета, которую мы будем сегодня изучать.

Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.

4.2.Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения.

Определение. Квадратное уравнение вида называется приведенным.

Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице.

Пример. .

Всякое квадратное уравнение может быть приведено к виду . Для этого необходимо разделить обе части уравнения на .

Например , уравнение 7Х 2 – 12Х + 14 = 0 делением на 7 приводится к виду

Х 2 – 12/7Х + 2 = 0

4.3. Вывести формулы корней приведенного квадратного уравнения.

a , b , c

a=1 , b=p , c=q

Решите уравнение Х 2 – 14Х – 15 =0 (Ученик решает у доски)

Вопросы:

Назовите коэффициенты p и q (-14, -15);

Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения;

Найдите корни данного уравнения (Х 1 = 15, Х 2 = -1)

4.4. сформулировать и доказать теорему Виета.

Если и - корни уравнения , то справедливы формулы , т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

После этого учителем проводится доказательство теоремы. Затем совместно с учащимися делает вывод.

Пример. . p =-5,q =6.

Значит числа и - числа

положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых

равно 6, а сумма равна 5. =2, =3 – корни уравнения.

4.5. Применение теоремы Виета .

С её помощью можно:

Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,

Зная один из корней, найти другой,

Определить знаки корней уравнения,

Подобрать корни уравнения, не решая его.

4.6. Сформулируем теорему обратную теореме Виета.

Если числа p , q , и таковы, что удовлетворяют соотношения , то , - корни квадратного уравнения .

Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, выносится на дом для самостоятельно изучения сильным учащимся.

4.7. рассмотреть решение задачи 5 на странице учебника 125.

    Закрепление изученного материала

№ 450 (1)

№ 451 (1, 3, 5) - устно

№ 452 (устно)

№ 455 (1,3)

№ 456 (1, 3)

    Подведение итогов урока.

Ответьте на вопросы:

    Сформулируйте теорему Виета.

Зачем нужна теорема Виета?

Сформулируйте обратную теорему теореме Виета.

    Домашнее задание.

§29 (до задачи 6), № 450(2,4,6); 455(2,4); 456(2,4,6).

    Дополнительные задания.

Уровень А.

    Найдите сумму и произведение корней уравнения:

2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.

Уровень В.

1.Найдите сумму и произведение корней уравнения:

2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и .

Уровень С.

1. Разобрать доказательство теоремы, обратной теореме Виета

2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

Схема конспекта урока

Этапы работы

Содержание этапа

Организационный момент , включающий:

    постановку цели, которая должна быть достигнута учащимися на данном этапе урока (что должно быть сделано учащимися, чтобы их дальнейшая работа на уроке была эффективной)

    описание методов организации работы учащихся на начальном этапе урока, настроя учеников на учебную деятельность, предмет и тему урока (с учетом реальных особенностей класса, с которым работает педагог)

Программные требования к математической подготовке учащихся по этой теме заключается в введении понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы (из программы для общеобразовательных учреждений).

Учащиеся 8-го класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Лучший способ организовать внимание – так организовать учебную деятельность, чтобы у учеников не было ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.

На основании сказанного выше целью урока является решение следующих задач:
а) образовательные: введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.

б) развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать;
в) воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.

Для того, чтобы учащиеся восприняли урок как логически законченный, целостный, ограниченный во времени отрезок учебно-воспитательного процесса, он начинается с постановки обоснования задач и заканчивается подведением итогов и постановкой задач на следующие уроки.

Опрос учащихся по заданному на дом материалу , включающий:

    определение целей, которые учитель ставит перед учениками на данном этапе урока (какой результат должен быть достигнут учащимися);

    определение целей и задач, которых учитель хочет достичь на данном этапе урока;

    описание методов, способствующих решению поставленных целей и задач;

    описание критериев достижения целей и задач данного этапа урока;

    определение возможных действий педагога в случае, если ему или учащимся не удается достичь поставленных целей;

    описание методов организации совместной деятельности учащихся с учетом особенностей класса, с которым работает педагог;

    описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе опроса;

    описание методов и критериев оценивания ответов учащихся в ходе опроса.

На первом этапе происходит фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся. При этом происходит повторение решения квадратных уравнений и закрепление определения количества корней по его дискриминанту. Осуществляется переход к определению приведенного квадратного уравнения.

На втором этапе рассматриваются уравнения двух видов. Чтобы учащиеся не уставали от однообразной работы, применяются различные формы работы и варианты заданий, включены задания более высокого уровня (с параметром).

Устная работа учащихся чередуется с письменной, которая состоит в обосновании выбора способа решения квадратного уравнения, анализе решения уравнения

Одним из приёмов педагогической поддержки, является использование в качестве наглядности информационных технологий, которые помогают учащимся разных уровней подготовленности легко усваивать материал, поэтому отдельные моменты урока проводятся с использованием презентации (показ решения самостоятельной работы, вопросы, домашнее задание)

Изучение нового учебного материала. Данный этап предполагает:

    изложение основных положений нового учебного материала, который должен быть освоен учащимися;

    описание форм и методов изложения (представления) нового учебного материала;

    описание основных форм и методов организации индивидуальной и групповой деятельности учащихся с учетом особенностей класса, в котором работает педагог;

    описание критериев определения уровня внимания и интереса учащихся к излагаемому педагогом учебному материалу;

    описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе освоения нового учебного материала

Дается определение приведенного квадратного уравнения. Учитель совместно с учениками проводит вывод формул корней приведенного квадратного уравнения, учащиеся осознают значимость учебного материала урока. Разбор формулировки и доказательства теоремы Виета также происходит совместно с учениками

Такая работа является также закреплением изучения нового материала.

Методы:

    наглядный;

    практический;

    словесный;

    частично-поисковый

Закрепление учебного материала , предполагающее:

    постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);

    определение целей и задач, которые ставит перед собой учитель на данном этапе урока;

    описание форм и методов достижения поставленных целей в ходе закрепления нового учебного материала с учетом индивидуальных особенностей учащихся, с которыми работает педагог.

    описание критериев, позволяющих определить степень усвоения учащимися нового учебного материала;

    описание возможных путей и методов реагирования на ситуации, когда учитель определяет, что часть учащихся не освоила новый учебный материал.

Закрепление учебного материала происходит при ответах на вопросы и в работе с учебником:

Разбор задачи №5 на странице 125;

Решение упражнений

№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) – устно, 452 (устно);

455 (1,3); 456 (1, 3)

На протяжении всего урока наблюдается высокая активность учащихся, учитель имеет возможность опросить всех учащихся класса, а некоторых даже не один раз.

Подводится итог урока в форме фронтального опроса учащихся по вопросам:

    Какие уравнения называются приведенными?

    Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?

    Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения

    Сформулируйте теорему Виета.

    Чему равна сумма и произведение корней уравнения:

Задание на дом , включающее:

    постановку целей самостоятельной работы для учащихся (что должны сделать учащиеся в ходе выполнения домашнего задания);

    определение целей, которые хочет достичь учитель, задавая задание на дом;

    определение и разъяснение учащимся критериев успешного выполнения домашнего задания.

В домашней работе предполагается, что учащиеся работают в соответствии со своими возможностями. Сильные учащиеся работают самостоятельно и в конце работы имеют возможность проверить правильность своих решений, сверив их с решениями, записанными на доске в начале следующего урока. Другие учащиеся могут получить консультацию своих одноклассников или учителя. Слабые учащиеся работают, опираясь на примеры, используют решения уравнений, разобранных в классе. Таким образом, создаются условия для работы на различных уровнях сложности.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x 2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x 2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x 2 − 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Пример квадратного уравнения:

3x 2 + 2x – 5 = 0.

Здесь а = 3, b = 2, c = –5.

Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения.

Число a называют первым коэффициентом , число b – вторым коэффициентом , а число c – свободным членом .

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением .

Примеры приведенного квадратного уравнения:

x 2 + 10x – 11 = 0

x 2 – x – 12 = 0

x 2 – 6х + 5 = 0

здесь коэффициент при x 2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).

Неполное квадратное уравнение.

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением .

Примеры неполного квадратного уравнения:

2x 2 + 18 = 0

здесь есть коэффициент а , который равен -2, есть коэффициент c , равный 18, а коэффициента b нет – он равен нулю.

x 2 – 5x = 0

здесь а = 1, b = -5, c = 0 (поэтому коэффициент c в уравнении отсутствует).

Как решать квадратные уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:

1) Найти дискриминант D по формуле:

D = b 2 – 4 ac .

Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то

2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:

– b ± √ D
х 1,2 = -----.
2а

Пример : Решить квадратное уравнение 3х 2 – 5х – 2 = 0.

Решение :

Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:

а = 3, b = –5, c = –2.

Вычисляем дискриминант:

D = b 2 – 4ac = (–5) 2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.

Находим корни квадратного уравнения:

–b + √D 5 + 7 12
х 1 = ----- = ---- = -- = 2
2а 6 6

–b – √D 5 – 7 2 1
х 2 = ----- = ---- = – -- = – --.
2а 6 6 3

1
Ответ : х 1 = 2, х 2 = – --.

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:


Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:


1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:


По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:


Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0

а=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0

а=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:


Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + с = b , то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0

Выполняется равенство a + с = b , значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны

аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:


У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15х+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным . Как мы видим коэффициент при х 2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов :

1) Если b = 0, с ≠ 0, то ах 2 + с = 0;

2) Если b ≠ 0, с = 0, то ах 2 + bх = 0;

3) Если b= 0, с = 0, то ах 2 = 0.

  • Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах 2 + с = 0.

Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ах 2 = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х 2 = ‒с/а.

Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня

x = ±√(–c/a) .

Если же ‒c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

Пример 1 . Решите уравнение 2х 2 ‒ 32 = 0.

Ответ: х 1 = ‒ 4, х 2 = 4.

Пример 2 . Решите уравнение 2х 2 + 8 = 0.

Ответ: уравнение решений не имеет.

  • Разберемся как же решаются уравнения вида ах 2 + bх = 0.

Чтобы решить уравнение ах 2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах + b = 0. Решая уравнение ах + b = 0, получим ах = ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах 2 + bх = 0, всегда имеет два корня х 1 = 0 и х 2 = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.

Закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3 . Решить уравнение 3х 2 ‒ 12х = 0.

х(3х ‒ 12) = 0

х= 0 или 3х – 12 = 0

Ответ: х 1 = 0, х 2 = 4.

  • Уравнения третьего вида ах 2 = 0 решаются очень просто.

Если ах 2 = 0, то х 2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х 1 = 0, х 2 = 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

Пример 4. Решить уравнение 7х 2 = 0.

Ответ: х 1, 2 = 0.

Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Решить уравнение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим

5(5х 2 + 9) – 6(4х 2 – 9) = 90.

Раскроем скобки

25х 2 + 45 – 24х 2 + 54 = 90.

Приведем подобные

Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

Ответ: корней нет.

Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки , мы вместе решим возникшие проблемы.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.