Котангенс определение. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла. Тригонометрические функции

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

\sin \alpha = \frac{a}{c}

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

\cos \alpha = \frac{b}{c}

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

tg \alpha = \frac{a}{b}

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

ctg \alpha = \frac{b}{a}

Синус произвольного угла

Ордината точки на единичной окружности , которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha .

\sin \alpha=y

Косинус произвольного угла

Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha .

\cos \alpha=x

Тангенс произвольного угла

Отношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha .

tg \alpha = y_{A}

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Котангенс произвольного угла

Отношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha .

ctg \alpha =x_{A}

ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Пример нахождения произвольного угла

Если \alpha — некоторый угол AOM , где M — точка единичной окружности, то

\sin \alpha=y_{M} , \cos \alpha=x_{M} , tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}} , ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}} .

Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4} , то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2} , абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому

\sin \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} ;

\cos \left (\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} ;

tg ;

ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-1 .

Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Значения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:

	0^{\circ} (0)	30^{\circ}\left(\frac{\pi}{6}\right)	45^{\circ}\left(\frac{\pi}{4}\right)	60^{\circ}\left(\frac{\pi}{3}\right)	90^{\circ}\left(\frac{\pi}{2}\right)	180^{\circ}\left(\pi\right)	270^{\circ}\left(\frac{3\pi}{2}\right)	360^{\circ}\left(2\pi\right)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac{\sqrt 2}{2}	\frac{\sqrt 3}{2}	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac{\sqrt 3}{2}	\frac{\sqrt 2}{2}	\frac12	0	−1	0	1
tg \alpha	0	\frac{\sqrt 3}{3}	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg \alpha	—	\sqrt3	1	\frac{\sqrt 3}{3}	0	—	0	—

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол - меньший 90 градусов.

Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , .

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы .

Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье.

Как найти синус?

Изучение геометрии помогает развивать мышление. Этот предмет обязательно входит в школьную подготовку. В жизнедеятельности знание этого предмета может пригодиться - например, при планировке квартиры.

Из истории

В рамках курса геометрии изучается также тригонометрия, которая исследует тригонометрические функции. В тригонометрии мы изучаем синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы угла.

Но на данный момент начнем с самого простого - синуса. Давайте рассмотрим более детально самое первое понятие - синус угла в геометрии. Что такое синус и как его найти?

Понятие «синус угла» и синусоиды

Синус угла - это соотношение значений противоположного катета и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это прямая тригонометрическая функция, которая на письме обозначается как «sin (x)», где (х) - угол треугольника.

На графике синус угла обозначается синусоидой со своими особенностями. Синусоида выглядит как непрерывная волнообразная линия, которая лежит в определенных рамках на плоскости координат. Функция нечетная, поэтому симметрична относительно 0 на плоскости координат (выходит из начала отсчета координат).

Область определения этой функции лежит в диапазоне от -1 до +1 на декартовой системе координат. Период функции синус угла составляет 2 Пи. Это означает, что каждые 2 Пи рисунок повторяется, и синусоида проходит полный цикл.

Уравнение синусоиды

• sin х = a / c
• где а - противолежащий к углу треугольника катет
• с - гипотенуза прямоугольного треугольника

Свойства синуса угла

1. sin (x) = - sin (x). Эта особенность демонстрирует, что функция симметрична, и если отложить на системе координат в обе стороны значения х и (-х), то ординаты этих точек будут противоположными. Они будут находиться на равном расстоянии друг от друга.
2. Еще одной особенностью этой функции является то, что график функции возрастает на отрезке [- П/2 + 2 Пn]; [П/2 + 2Пn], где n - любое целое число. Убывание графика синуса угла будет наблюдаться на отрезке: [ П/2 + 2 Пn]; [ 3П/2 + 2Пn].
3. sin (x) > 0, когда х лежит в диапазоне (2Пn, П + 2Пn)
4. (x) < 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Значения синусов угла определяются по специальным таблицам. Созданы такие таблицы для облегчения процесса подсчета сложных формул и уравнений. Она легка в использовании и содержит значения не только функции sin (x), но также и значения других функций.

Более того, таблица стандартных значений этих функций включена к обязательному изучению на память, как таблица умножения. Особенно это актуально для классов с физико-математическим уклоном. В таблице можно увидеть значения основных используемых в тригонометрии углов: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 и 360 градусов.

Также существует таблица, определяющая значения тригонометрических функций нестандартных углов. Пользуясь разными таблицами, можно без труда вычислить синус, косинус, тангенс и котангенс некоторых углов.

С тригонометрическими функциями составляются уравнения. Решать эти уравнения легко, если знать простые тригонометрические тождества и приведения функций, например, такие, как sin (П/2 + х) = cos (x) и другие. Для таких приведений также составлена отдельная таблица.

Как найти синус угла

Когда стоит задача найти синус угла, а по условию у нас есть только косинус, тангенс, или котангенс угла, мы легко можем вычислить нужное с помощью тригонометрических тождеств.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Исходя из этого уравнения, мы можем найти как синус, так и косинус, в зависимости от того, какое значение неизвестно. У нас получится тригонометрическое уравнение с одним неизвестным:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Из этого уравнения можно найти значение синуса, зная значение котангенса угла. Для упрощения замените sin 2 x = у, и тогда у вас получится простое уравнение. Например, значение котангенса равно 1, тогда:

• 1 + 1 = 1/у
• 2 = 1 / у
• 2у = 1
• у = 1/2

Теперь выполняем обратную замену игрека:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Поскольку мы взяли значение котангенса для стандартного угла (45 0), полученные значения можно проверить по таблице .

Если у вас дано значение тангенса, а нужно найти синус, поможет еще одно тригонометрическое тождество:

• tg x * ctg x = 1

Из этого следует, что:

• ctg x = 1 / tg x

Для того чтобы найти синус нестандартного угла, например, 240 0 , необходимо воспользоваться формулами приведения углов. Мы знаем, что π у нас соответствует 180 0 . Таким образом, мы выразим наше равенство с помощью стандартных углов путем разложения.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Нам необходимо найти следующее: sin (180 0 + 60 0). В тригонометрии есть формулы приведения, которые в данном случае пригодятся. Это формула:

• sin (π + х) = - sin (х)

Таким образом, синус угла 240 градусов равен:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

В нашем случае, х = 60, а П, соответственно, 180 градусам. Значение (-√3/2) мы нашли по таблице значений функций стандартных углов.

Таким образом можно разложить нестандартные углы, например: 210 = 180 + 30.

Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

Синус, косинус произвольного угла

Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР , который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ . Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1 .

Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ , то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным , если же он двигается против движения часовой стрелки - положительным .

Синусом угла ОР , является ордината точки Р вектора на окружности.

То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.

Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1 , то sin(α) = y 0 .

В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой - отрицательное.

Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР , является абсцисса точки Р вектора на окружности.

То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.

Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1 , то cos(α) = x 0 .

В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей - отрицательное.

Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу.

Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.

Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.

Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла поможет понять прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \(AC \) ); катеты – это две оставшиеся стороны \(AB \) и \(BC \) (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла \(BC \) , то катет \(AB \) – это прилежащий катет, а катет \(BC \) - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

\[ \sin \beta =\dfrac{BC}{AC} \]

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

\[ \cos \beta =\dfrac{AB}{AC} \]

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике:

\[ tg\beta =\dfrac{BC}{AB} \]

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике:

\[ ctg\beta =\dfrac{AB}{BC} \]

Эти определения необходимо запомнить ! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе . А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \(\beta \) . По определению, из треугольника \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} \) , но ведь мы можем вычислить косинус угла \(\beta \) и из треугольника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3} \) . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника \(ABC \) , изображённого ниже на рисунке, найдём \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \) .

\(\begin{array}{l}\sin \ \alpha =\dfrac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\dfrac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\dfrac{3}{4}=0,75\end{array} \)

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \(\beta \) .

Ответы: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac{4}{3} \) .

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \(1 \) . Такая окружность называется единичной . Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \(x \) (в нашем примере, это радиус \(AB \) ).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \(x \) и координата по оси \(y \) . А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник \(ACG \) . Он прямоугольный, так как \(CG \) является перпендикуляром к оси \(x \) .

Чему равен \(\cos \ \alpha \) из треугольника \(ACG \) ? Всё верно \(\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC} \) . Кроме того, нам ведь известно, что \(AC \) – это радиус единичной окружности, а значит, \(AC=1 \) . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

\(\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC}=\dfrac{AG}{1}=AG \) .

А чему равен \(\sin \ \alpha \) из треугольника \(ACG \) ? Ну конечно, \(\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC} \) ! Подставим значение радиуса \(AC \) в эту формулу и получим:

\(\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC}=\dfrac{CG}{1}=CG \)

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \(C \) , принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) - это просто числа? Какой координате соответствует \(\cos \alpha \) ? Ну, конечно, координате \(x \) ! А какой координате соответствует \(\sin \alpha \) ? Всё верно, координате \(y \) ! Таким образом, точка \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \) .

А чему тогда равны \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \) ? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \(tg \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{y}{x} \) , а \(ctg \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{x}{y} \) .

А что, если угол будет больше ? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник \({{A}_{1}}{{C}_{1}}G \) : угол (как прилежащий к углу \(\beta \) ). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла \({{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ \) ? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

\(\begin{array}{l}\sin \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{C}_{1}}G}{1}={{C}_{1}}G=y;\\\cos \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{A}_{1}}G}{1}={{A}_{1}}G=x;\\tg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}G}=\dfrac{y}{x};\\ctg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{C}_{1}}G}=\dfrac{x}{y}\end{array} \)

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \(y \) ; значение косинуса угла – координате \(x \) ; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \(x \) . До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \(360{}^\circ \) или \(2\pi \) . А можно повернуть радиус-вектор на \(390{}^\circ \) или на \(-1140{}^\circ \) ? Ну конечно, можно! В первом случае, \(390{}^\circ =360{}^\circ +30{}^\circ \) , таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \(30{}^\circ \) или \(\dfrac{\pi }{6} \) .

Во втором случае, \(-1140{}^\circ =-360{}^\circ \cdot 3-60{}^\circ \) , то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении \(-60{}^\circ \) или \(-\dfrac{\pi }{3} \) .

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \(360{}^\circ \cdot m \) или \(2\pi \cdot m \) (где \(m \) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол \(\beta =-60{}^\circ \) . Это же изображение соответствует углу \(-420{}^\circ ,-780{}^\circ ,\ 300{}^\circ ,660{}^\circ \) и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой \(\beta +360{}^\circ \cdot m \) или \(\beta +2\pi \cdot m \) (где \(m \) – любое целое число)

\(\begin{array}{l}-420{}^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780{}^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300{}^\circ =-60+360\cdot 1;\\660{}^\circ =-60+360\cdot 2.\end{array} \)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

\(\begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array} \)

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

\(\begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg\alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \)

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в \(90{}^\circ =\dfrac{\pi }{2} \) соответствует точка с координатами \(\left(0;1 \right) \) , следовательно:

\(\sin 90{}^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90{}^\circ =x=0 \) ;

\(\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circ \) - не существует;

\(\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{x}{y}=\dfrac{0}{1}=0 \) .

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в \(180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ)\ \) соответствуют точки с координатами \(\left(-1;0 \right),\text{ }\left(0;-1 \right),\text{ }\left(1;0 \right),\text{ }\left(0;1 \right) \) , соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

\(\displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\dfrac{0}{-1}=0 \)

\(\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \pi \) - не существует

\(\sin \ 270{}^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270{}^\circ =0 \)

\(\text{tg}\ 270{}^\circ =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\circ \) - не существует

\(\text{ctg}\ 270{}^\circ =\dfrac{0}{-1}=0 \)

\(\sin \ 360{}^\circ =0 \)

\(\cos \ 360{}^\circ =1 \)

\(\text{tg}\ 360{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0 \)

\(\text{ctg}\ 360{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\pi \) - не существует

\(\sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\sin \ 90{}^\circ =1 \)

\(\cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\cos \ 90{}^\circ =0 \)

\(\text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450{}^\circ \) - не существует

\(\text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0 \) .

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

\(\left. \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg \alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \right\}\ \text{Надо запомнить или уметь выводить!!!} \)

А вот значения тригонометрических функций углов в и \(30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4} \) , приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (\(30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4},\ 60{}^\circ =\dfrac{\pi }{3} \) ), а также значение тангенса угла в \(30{}^\circ \) . Зная эти \(4 \) значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

\(\begin{array}{l}\sin 30{}^\circ =\cos \ 60{}^\circ =\dfrac{1}{2}\ \ \\\sin 45{}^\circ =\cos \ 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sin 60{}^\circ =\cos \ 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \end{array} \)

\(\text{tg}\ 30{}^\circ \ =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \) , зная это можно восстановить значения для \(\text{tg}\ 45{}^\circ , \text{tg}\ 60{}^\circ \) . Числитель «\(1 \) » будет соответствовать \(\text{tg}\ 45{}^\circ \ \) , а знаменатель «\(\sqrt{\text{3}} \) » соответствует \(\text{tg}\ 60{}^\circ \ \) . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего \(4 \) значения из таблицы.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка \(K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2) \) - центр окружности. Радиус окружности равен \(1,5 \) . Необходимо найти координаты точки \(P \) , полученной поворотом точки \(O \) на \(\delta \) градусов.

Как видно из рисунка, координате \(x \) точки \(P \) соответствует длина отрезка \(TP=UQ=UK+KQ \) . Длина отрезка \(UK \) соответствует координате \(x \) центра окружности, то есть равна \(3 \) . Длину отрезка \(KQ \) можно выразить, используя определение косинуса:

\(\cos \ \delta =\dfrac{KQ}{KP}=\dfrac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \) .

Тогда имеем, что для точки \(P \) координата \(x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \) .

По той же логике находим значение координаты y для точки \(P \) . Таким образом,

\(y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \) .

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

\(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array} \) , где

\({{x}_{0}},{{y}_{0}} \) - координаты центра окружности,

\(r \) - радиус окружности,

\(\delta \) - угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

\(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array} \)

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!